Sistemas Lineales

Introducción Teórica

La forma por excelencia de representar un sistema lineal, es utilizando la notación matricial, llevándolo a la forma $Ax = b$, donde $x \in \CC[n \times 1]$ es el vector de incógnitas a despejar, $A \in \CC[m \times n]$ es la matriz de coeficientes del sistema y $b \in \CC[m \times 1]$ es un término independiente.

Si la matriz $A$ es inversible, el sistema presenta una única solución dada por $x = A^{-1} b$. Esto pasa si solo si $\det(A) \neq 0$.

En caso que la matriz $A$ sea no inversible, el sistema puede presentar una, ninguna, o infinitas soluciones.

Compatibilidad de un sistema

Un sistema es compatible si solo si $\rg(A) = \rg([A|b])$, donde $[A|b]$ es una matriz por bloques formada por $A$ y $b$ como columnas.

Soluciones de un sistema compatible

Dado el sistema $A x = b$ se llama sistema homogéneo asociado al sistema dado por $A x_h = 0$. Este último siempre es compatible (por lo dicho anteriormente) y es sencillo de resolver. Todos los vectores que cumplen $A x_h = 0$ forman el subespacio nulo de $A$ o $\nul A$. En dicho espacio se pueden hallar un conjunto de $k=n-\rg(A)$ vectores linealmente independientes, llamemoslos $\{v_1, \cdots, v_k \}$.

Se cumple que todos los vectores $x_h$ que cumplen $A x_h = 0$ son de la forma: $x_h = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k$ con $\alpha_1,\cdots,\alpha_k \in \CC$.

Conocida una solución particular del sistema no homogéneo, es decir, un vector $x_p$ tal que $A x_p = b$, todas las soluciones del sistema pueden obtenerse de la forma $x = x_p + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k$, es decir, $x = x_p + \nul A$.

Resolución de Sistemas con Octave

Para el caso de sistemas compatibles con solución única, la inversa de una matriz puede calcularse utlizando el comando inv(A). Previamente podemos calcular su determinante con det(A).

Podemos observar si un sistema es compatible armando la matriz extentida. Para ello, podemos armar una matriz en bloques de la misma forma que armamos matrices:

M = [A, b]

Y basta comparar los rangos dados por rank(M) y rank(A).

Solución particular

Para hallar una solución particular en el caso no homogéneo es necesario triangular. Para ello, podemos utilizar el comando \ de la siguiente forma:

xp = A\b

Dicho comando también funciona cuando la matriz $A$ es inversible, y por lo general, es mucho más numéricamente estable que hallar inv(A) y calcular inv(A)*b.

Nulo

El nulo de una matriz se obtiene con el comando null(A). Este devuelve una base del espacio nulo de $A$, que era lo que faltaba para obtener la solución completa.

Ejercicios

Ej 1) Analizar si el sistema $Ax=b$ es compatible. Si es así, halle su solución.

A = [
    13.0   -3.2  11.9  -14.1 
   -12.1    4.0  -6.2   -4.8 
     6.9   12.2   6.4  -11.4 
     0.5  -20.5  12.7  -12.1 ];

b = [ 41.3
      -7.7
      67.7
     -23.5 ];
	 

Ej 2a) Halle todas las soluciones de la ecuacion $B x = 0$

B = [
   -2.6    -5.7    2.6    -8.3    18.9
   -4.1    15.9    5.1    20.5   -19.7
    8.2     0      7.8    -8.4    -0.1
   19.95  -29.55  10.55  -55.85   48.25
];

Ej 2b) Analice si el sistema $B x = c$ es compatible. De ser así, halle una solución.

c = [-21.69    32.35   -26.52  -123.255] ;

Ej 2c) Combinando los ejericios 2a y 2b

Resolviendo sistemas incompatibles

Respecto a la operación A\b sabemos que cuando el sistema posee infinitas soluciones, solamente devuelve una. Otra cosa más extraña es que funciona aún cuando el sistema no posee solución. En realidad, al hacer A\b estamos obteniendo la “el vector $x$ que da el valor más cercano a $b$” (si hay infinitos, devuelve el de norma mínima).

Es decir, para aquellos que hayan cursado Álgebra II, digamos que utiliza la misma idea que la pseudo-inversa de Moore-Penrose. Esta última se puede obtener utilizando el comando pinv(A).

Hacer x=A\b es equivalente en todos los casos hacer ​x=pinv(A)*b​, salvo porque la primera forma es más óptima y numéricamente más estable.

Ejercicios

Resolver el sistema $Ax=b$ por cuadrados mínimos.

A = [
   1.05773   1.00000
   7.81927   1.00000
   5.01974   1.00000
   7.29487   1.00000
   0.51030   1.00000
   7.43173   1.00000
   7.39254   1.00000
   6.43960   1.00000
   9.37278   1.00000
   2.81059   1.00000
];

b = [
    4.6891
   24.9399
   16.6092
   22.9799
    3.5419
   23.3990
   23.5619
   20.1535
   28.5392
    8.8841];