Matrices
Las matrices se escriben entre corchetes [ ], las filas se separan por
espacios o comas , y las columnas se separan por saltos de linea (enter)
o por punto y coma ;.
Por ejemplo, la matriz se puede escribir de las siguientes formas equivalentes:
A = [1 2; 3 4]
B = [1, 2; 3, 4]
C = [1 2
3 4] % poner espacios evita que la gente te odie :)
% Y estas deformidades también valen
D = [1 2
3,4]
Vectores
Los vectores son simplemente matrices de o de dependiendo si usamos vectores filas o columnas, y por lo tanto es necesario que las dimensiones concuerden para multiplicarlos por una matriz.
Por ejemplo, el producto se resuelve como:
A = [1 2; -2 3];
b = [1; -1]; % Notar que es vector columna
A*b
Operaciones con Matrices
Del álgebra vectorial sabemos que las matrices se pueden sumar, restar y multiplicar (siempre que den las dimensiones).
Transpuesta
Una operación muy utlizada hallar la transpuesta hermítica,
o bien la transpuesta tradicional. Esto se realiza con los operadores '
y .' respectivamente:
B = [1 3 4;
2i -1 0];
B' # Transpuesta y conjugada
B.' # Transpuesta
El operador ' puede utiliarse para escribir de forma más comoda vectores
columna, ahorrándose muchos ;:
xlargo = [1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 3 2 4].'
Potencia
La potencia de matrices es válida para matrices cuadradas, ya que se define . Por lo cual, lo siguiente es valido:
A = [1 2;
-1 3];
A^3
Pero esto da error:
A = [1 2 3;
-1 3 1];
A^3
Si embargo, si lo que queremos es elevar cada componente de la matriz,
se debe usar el operador .^
A = [1 2 3;
-1 3 1];
A.^3 % Esto funciona
% Resultado:
% [1 8 27;
% -1 27 1];
De forma similar, los operadores ./ y .* realizan opereaciones
elemento a elemento.
Ejemplo: Matriz de Rotación
Nadie dijo que dentro de una matriz no pueda poner cuentas, por ejemplo:
theta = deg2rad(25);
M = [cos(theta), -sin(theta)
sin(theta), cos(theta) ];
M * [1 1].'
Y como sabemos, las matrices de rotación se pueden componer. Es divertido hacerlo con rotaciones en el espacio:
theta1 = deg2rad(25);
Mx = [ 1 0 0
0 cos(theta1) -sin(theta1)
0 sin(theta1) cos(theta1) ];
theta2 = deg2rad(15);
Mz = [ cos(theta1) -sin(theta1) 0
sin(theta1) cos(theta1) 0
0 0 1];
M1 = Mx*Mz
M2 = Mz*Mx % Notar la no-conmutatividad
Y también se puede obtener la rotación inversa:
M3 = inv(M2)
Que va a coincidir con M2.' pues es ortogonal. Podemos verificar
que al hacer det(M2) el determinante es 1.
Submatrices
Se pueden obtener pedacitos de una matriz fácilmente. Trabajemos con esta de ejemplo:
A = [ 17 11 71
41 60 3
85 24 58
44 96 22 ];
El elemento en la fila i, columna j se obtiene haciendo A(i,j).
Es decir, en este caso, A(1,1) es 17, A(3,2) es 24, etc.
Por otro lado, para indicar rangos de filas o columnas, se utilizan vectores en las componentes, por ejemplo:
A(1,[1 3]) # Fila 1, Columnas 1 y 3
A([2 3],[3 1]) # Filas 2 y 3, Columnas 3 y 1 en ese orden
Incluso podemos invertir el orden de una matriz, por ejemplo:
A([4 3 2 1], [1 2 3])
# Resultado
# 44 96 22
# 85 24 58
# 41 60 3
# 17 11 71
Y cualquier combinación que se nos ocurra.
Rangos
Es claro que se necesita una forma más cómoda para especificar las columnas, no voy a andar escribiendo vectores enormes… ¿no?
Por suerte no. Para ello se utilizan los rangos, que es una forma de decirle a octave que nos de un vector consecutivo, así no escribimos tanto.
La sintaxis es: inicio:fin o bien inicio:paso:fin. Prueben estos ejemplos:
1:3 # Resultado: [1 2 3]
1:10 # Resultado: del 1 al 10
1:2:6 # Resultado: [1 3 5]
1:0.5:3 # Resultado: [1 1.5 2 2.5 3]
3:-1:1 # Resultado: [3 2 1]
Por lo tanto, podemos escribir el ejemplo anterior como
A(4:-1:1, 1:3)
Para obtener todas las filas o columnas, no es necesario poner 1:3,
basta con poner : y Octave va a interpretar que queremos todas las filas
o columnas. El ejemplo anterior es mejor así:
A(4:-1:1, :)
Por otro lado, todas las matrices empiezan por el elemento 1, eso es claro,
pero es interesante que el último elemento se llama end. Eso permite
independizarnos de la cantidad de elementos de la matriz. Por ejemplo,
en el caso anterior quedaría:
A(end:-1:1, :) # Much clear, so Octave, wow
Pero también podemos hacer cosas como:
A(1, :) # La primer fila
A(end, :) # La última fila
A(end-1, :) # La ante última fila
A(end-2:end, :) # Las tres últimas filas
A(:, end-1:end) # Las dos últimas columnas
Selección usando un único indice
Por si fuera poco, las matrices también se pueden leer con un único indice,
como si todas las columnas se apilasen una abajo de otra.
Por ello, A(1) es 17, A(3) es
85, A(4) es 44, A(5) es 11 y así. Haciendo A(:) puede verse cómo
la matriz se convirtió en un vector columna.
Filtrado
Tambien se pueden hacer cosas locas como esta:
A(A>50)
Eso devuelte todos los elementos de A que cumplen la condición de ser mayores a 50. Este comportamiento se llama “list comprehension” y está muy piola. Se puede poner básicamente cualquier función de selección ahí adentro y anda pero eso no lo vamos a explocar porque es medio un bardo, pero está en internet.